ディープラーニング基礎: ネイピア数を計算で求めてみる

プログラミング
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こんにちは、おみです。

微分を勉強しているとネイピア数という定数が登場しますが、定義だけ見てもなんでこうなるかわからないと納得できないですよね。

そこで今回は、ネイピア数を計算によって求めてみようと思います。

偏差値が低い商業高校に通っていたので、数Ⅱ,数B,数Ⅲは学習したことがありません。

そのため自力で学んでいるので、間違っているところもあるかもしれないですがその時はご指摘ください

 

 

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ネイピア数って何?

ネイピア数は、数Ⅲの微分の範囲で登場する定数の1つです。

アルファベットの「e」で表されます。

$$e  = 2.71828182845904523536……  $$

 

 

 

ネイピア数の定義

ネイピア数は、下記のように定義されます。

  • 定義①  \(\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)
  • 定義②  \(\lim_{n \to 0}(1+n)^\frac{1}{n}\)

よくわからないですね。

nを無限に近づけたり0に近づけたりしているところが、微分って感じがしますね

 

 

ネイピア数の性質

ネイピア数は、

ネイピア数を底とした関数を微分しても、関数の形が変わらない

という性質があります。

 

どういうことかというと、

  • \(f(x)\)=\(a^x\)
  • \(f(x)\)を微分したものを\(f'(x)\)

としたとき、

\(f(x) = f'(x) = a^x\) が成立するときのaの値が、ネイピア数になるということです。

ということは、\(f(x) = a^x\)を微分して、その結果が\(a^x\)となるようなaを求めれば良さそうですね!

やってみましょう。

 

 

計算でネイピア数を求めてみる

\(f(x) = a^x\)を微分してみる。

\(f'(x) = \lim_{Δx \to 0}\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\)    … とりあえず式作る

\(= \lim_{Δx \to 0}\frac{a^{(x+Δx)}-a^x}{Δx}\)    … f(x)を展開する

\(= \lim_{Δx \to 0}\frac{a^{x}a^{Δx}-a^x}{Δx}\)    … 指数を整理する

\(= a^{x}\lim_{Δx \to 0}\frac{a^{Δx}-1}{Δx}\)    … \(a^x\)で括る

 

この時点で、式が

  • \(a^{x}\) … ①
  • \(\lim_{Δx \to 0}\frac{a^{Δx}-1}{Δx}\) … ②

の2つに分かれましたね。

 

②が1になるようなaを見つければ、

\(a^{x}\lim_{Δx \to 0}\frac{a^{Δx}-1}{Δx} = a^{x}*1 = a^{x}\)

となり、

\(f(x) = f'(x) = a^x\)

が成立しそうです。

②が1になるようなaを導き出していきましょう

 

\(\lim_{Δx \to 0}\frac{a^{Δx}-1}{Δx} = 1\)

\(\lim_{Δx \to 0}a^{Δx}-1 = \lim_{Δx \to 0}Δx\) … 両辺にΔxを掛け、分数でなくする

\(\lim_{Δx \to 0}a^{Δx} = \lim_{Δx \to 0} Δx + 1\) … -1を右辺に

 

\(\lim_{Δx \to 0}a^{Δx}\)を\(\frac{1}{Δx}\)乗すれば、aを計算するための式ができそうです。

 

\(a = \lim_{Δx \to 0}(1 + h)^\frac{1}{n}\) … 両辺を\(\frac{1}{Δx}\)乗

 

これで、aを計算するための式が導き出せました。

\(a = \lim_{Δx \to 0}(1 + h)^\frac{1}{n}\)

この式に\(Δx = 0.00001\)を代入し計算してみると、

\(a = 2.71826823719\)となり、ネイピア数にとても近い数を求めることができます。

実際に値を変えて計算をしていくと、aがどんどんネイピア数に近づいていく様子を見ることができます。

 

そして、この式はネイピア数の定義の①の式と同じです。

定義と同じ式であることからも、ネイピア数を計算で求めれていることがわかります。(計算で出すって言ってるのに、定義と同じだからというのはいかがなものかと思いますが…)

 

今回は、計算によって、ネイピア数を求めてみました。

ディープラーニングをちゃんと理解するために数学の勉強中なので、これからも数学の記事は出していこうと思います。

 

 

 

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